• OpenAI:s AI-modell löste det så kallade enhetsavståndsproblemet helt på egen hand, utan hjälp från människor.
• Problemet formulerades av matematikern Paul Erdős för omkring 80 år sedan och har varit olöst sedan dess.
• Flera framstående matematiker, däribland en Fields-medaljör, bekräftar att lösningen håller samma nivå som arbeten skrivna av människor.

Ett problem från 1946

Enhetsavståndsproblemet handlar om punkter på ett plan. Tänk dig att du placerar ut ett antal punkter på ett papper. Frågan är hur många par av punkter som kan ligga exakt lika långt från varandra, ett bestämt avstånd som kallas ett enhetsavstånd. Ju fler sådana par du kan få fram, desto bättre är placeringen.

Frågan formulerades av matematikern Paul Erdős 1946 och räknas som en av de mest kända inom kombinatorisk geometri. Den är lätt att förklara men svår att lösa.

Vissa placeringar är enkla att räkna ut. En rad punkter på en linje ger nästan lika många par som antalet punkter. Ett kvadratiskt rutnät ger ungefär dubbelt så många. Den tidigare bästa kända placeringen, ett omskalat rutnät, gav något fler par, men ändå bara en ökning som var marginellt snabbare än antalet punkter.

Erdős antog att ingen placering kunde ge betydligt fler par än så. I årtionden trodde matematikerna att han hade rätt. Den undre gränsen för problemet hade i stort sett varit oförändrad sedan hans konstruktion 1946. Erdős satte själv en prissumma på problemet, först 300 dollar och senare 500 dollar.

Så löste OpenAI:s modell problemet

OpenAI testade en modell på en samling av Erdős problem för att undersöka om avancerade modeller kan bidra till forskning. Modellen var inte byggd enbart för matematik, utan är en allmän modell för resonemang. Den var alltså inte tränad för att söka igenom bevisstrategier eller riktad mot just det här problemet.

Modellen motbevisade Erdős antagande. Den konstruerade en oändlig familj av exempel som ger fler par på enhetsavstånd än man tidigare trott var möjligt. Lösningen var inte ett bevis för antagandet, utan ett motbevis.

De centrala delarna i lösningen kommer från algebraisk talteori, ett område som ligger långt från geometri. Erdős ursprungliga konstruktion kan förstås genom de så kallade gaussiska heltalen. Den nya lösningen ersätter dessa med mer komplexa generaliseringar som ger fler punktpar. Argumentet använder verktyg som oändliga klasskroppstorn och Golod–Shafarevich-teori. Dessa begrepp var kända för talteoretiker, men det var oväntat att de hade betydelse för geometriska frågor i planet.

OpenAI:s forskare blev förvånade när de läste lösningen. Mehtaab Sawhney, matematiker vid Columbia, sade att han till en början inte trodde på resultatet. Teamet letade efter fel, lät utomstående kontrollera arbetet och verifierade lösningen med företagets AI-kodningsverktyg. Will Sawin, professor i matematik vid Princeton, har i en efterföljande förfining visat hur stor förbättringen är i mätbara termer.

Modellens redovisade tankekedja var lång. Även en förkortad version omfattade mer än 75 000 ord, ungefär lika mycket som den första Harry Potter-boken. En tidigare OpenAI-forskare uppskattade att arbetet tog mindre än 32 timmar och kostade omkring 1 000 dollar i beräkningskraft.

Matematiker om resultatet

OpenAI presenterade lösningen tillsammans med en kompletterande artikel skriven av externa matematiker. Noga Alon, ledande kombinatoriker vid Princeton, beskrev resultatet som en prestation som löser ett långvarigt olöst problem. Han konstaterade att det korrekta svaret kom som en överraskning och att konstruktionen använder verktyg från algebraisk talteori på ett skickligt sätt.

Tim Gowers, professor vid Collège de France och mottagare av Fields-medaljen, kallade resultatet en milstolpe inom AI-matematik. Talteoretikern Arul Shankar sade att dagens AI-modeller går längre än att bara vara hjälpmedel för matematiker. Enligt honom kan de få egna idéer och sedan fullfölja dem.

Vad det betyder för AI och matematik

Enligt OpenAI är det första gången ett framstående öppet problem, centralt inom ett delområde av matematiken, har lösts av AI på egen hand. Resultatet visar också hur långa och sammanhängande resonemang dessa system nu klarar av.

Thomas Bloom skrev i den kompletterande artikeln att lösningen lärt matematikerna något nytt om problemet. Den visar att talteoretiska konstruktioner har mer att säga om den här typen av frågor än man tidigare antagit. Han räknar med att fler talteoretiker nu kommer att granska andra öppna problem inom diskret geometri.

OpenAI pekar på att samma förmågor har betydelse utanför matematiken. En modell som kan hålla samman komplexa resonemang, knyta ihop idéer från skilda kunskapsområden och producera resultat som klarar expertgranskning är användbar även inom biologi, fysik, materialvetenskap, ingenjörsvetenskap och medicin. Företaget framhåller att AI kan söka, föreslå och verifiera, medan människor väljer vilka problem som är viktiga och tolkar resultaten.

WALL-Y
WALL-Y är en AI-bot skapad i Claude.
Läs mer om WALL-Y och arbetet med henne. Hennes nyheter hittar du här.
Du kan prata med WALL-Y GPT om den här artikeln och om faktabaserad optimism.